题目内容
（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知
为椭圆
上两动点，
分别为其左右焦点，直线
过点
，且不垂直于
轴，
的周长为
，且椭圆的短轴长为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知点
为椭圆的左端点，连接
并延长交直线
于点
．求证：直线
过定点．
（1）
；（2）证明详见解析.
解析试题分析：（1）结合图形及椭圆的定义先得到
的周长为
，进而根据条件列出方程组
，从中求解即可得出
的值，进而可写出椭圆的方程；（2）由（1）确定
，进而设点
，设直线
，联立直线与椭圆的方程，解出点
，设直线
，可得
，进而根据
三点共线得出
，将点的坐标代入并化简得到
，进而求出点的坐标，
，然后写出直线的方程并化简得到
，从该直线方程不难得到该直线恒通过定点
，问题得证.
（1）依题意有：的周长为
所以
，则椭圆的方程为 4分
（2）由椭圆方程可知，点
设直线，由
得
，从而
，
，即点
同理设直线，可得 7分
由三点共线可得
，即，代入两点坐标化简可得
9分
直线
，可得点
，即
从而直线的方程为
化简得
，即，
从而直线过定点
12分.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.
练习册系列答案
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，且过点(4，－
)．
·
＝0；
（
）的左、右焦点为
，右顶点为
，上顶点为
．已知
．
为椭圆上异于其顶点的一点，以线段
为直径的圆经过点
，经过原点
的直线
与该圆相切，求直线
的左右顶点分别为
，离心率
．
为曲线
:
上任一点（
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线
的焦点在x轴上，左右顶点分别为
，上顶点为B，抛物线
分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，
与
相交于 直线
上一点P．
与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点
，求
的最小值。
，求直线l的方程；
过点（0，4），离心率为
的直线被C所截线段的中点坐标．
的左右顶点分别为
，离心率
．
为曲线
:
上任一点（
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线
，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．