Question

(本题满分13分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，知。

（1）证明：；

（2）求异面直线与所成的角的余弦值；

（3）求二面角的大小余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1），，；（2）;（3）

【解析】

试题分析：（1）证明：在中，由题设，

可得，于是，

在矩形中，，

又，所以；                              ……4分

（2）由题意得，，

所以（或其补角）是异面直线与所成的角在中，

由余弦定理得，

由（1）知，，

所以，因而，

故是直角三角形，

所以，

所以异面直线与所成的角的余弦值为；                       ……9分

（3）过点做于，过点做于，连接

因为，，，又，

所以，

故为在平面内的射影，所以，

故是二面角的平面角。

由题设可得，，

，

于是在中，，

所以二面角的余弦值为.                              ……13分

考点：本小题主要考查空间中线面垂直的证明和异面直线所成的角以及二面角的求法，考查学生的空间向量能力、推理论证能力和运算求解能力.

点评：证明直线、平面之间的位置关系时，要注意摆清楚条件，各条件缺一不可，求两条异面直线所成的角时，要注意角的取值范围.