田忌和齐王赛马是历史上著名的故事．设齐王的三匹马分别记为a1.a2.a3.田忌的三匹马分别记为b1.b2.b3.三匹马各比赛一场.胜两场者获胜．若这六匹马比赛优劣程度可用不等式a1＞b1＞a2＞b2＞a3＞b3表示．(Ⅰ)如果双方均不知道比赛的对阵方式.求田忌获胜的概率,(Ⅱ)田忌为了得到更大的获胜概率.预先派出探子到齐王处打探实情.得知齐王� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

田忌和齐王赛马是历史上著名的故事．设齐王的三匹马分别记为a₁，a₂，a₃，田忌的三匹马分别记为b₁，b₂，b₃，三匹马各比赛一场，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优劣程度可用不等式a₁＞b₁＞a₂＞b₂＞a₃＞b₃表示．
（Ⅰ）如果双方均不知道比赛的对阵方式，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）田忌为了得到更大的获胜概率，预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应该怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？

分析：方法一：用列举法，根据题意，记a_i与b_j的比赛为（a_i，b_j），
（Ⅰ）列举比赛的可能情况，根据题意，查找可得田忌获胜的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，在（Ⅰ）列举的情况中，查找，分2种情况讨论后两场有两种情形，进而可得答案；
方法二：用列表法，根据题意，将各种比赛的情况用表格表示出来；
（Ⅰ）由所列的表格，查找可得田忌获胜的情况数目，进而计算可得答案；
（Ⅱ）由所列的表格，结合古典概型的概率的计算公式，易得答案．

解答：解：法一：记a_i与b_j的比赛为（a_i，b_j），（i，j=1，2，3）
（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（a₁，b₁）、（a₂，b₂）、（a₃，b₃），（a₂，b₂）、（a₂，b₃）、
（a₃，b₂），（a₂，b₁）、（a₁，b₂）、（a₃，b₃），（a₂，b₁）、
（a₁，b₃）、（a₃，b₂），（a₃，b₁）、（a₁，b₂）、（a₂，b₃），
（a₃，b₁）、（a₁，b₃）、（a₂，b₂）．（3分）
其中田忌获胜的只有一种（a₂，b₁）、（a₁，b₃）、（a₃，b₂），
所以田忌获胜的概率为

．（6分）
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马a₁，若田忌第一场出上等马b₁或中等马b₂，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b₃，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马a₂，可能对阵情形是（a₂，b₁）、（a₃，b₂）或者（a₂，b₂）、（a₃，b₁），所以田忌获胜的概率为