Question

已知函数在[1，2]上恒正，则实数a的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：设 ，由g（x）＞0，可得a＞，故a＞，g（x）在[1，2]上是递增函数．当a＞1时，f（x）在[1，2]上是增函数，根据f（1）＞0求出a的取值范围；当＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是减函数，由f（2）＞0求出a的取值范围，最后把这两个范围取并集．
解答：设 ，由＞0，可得 a＞．
当1≤x≤2时，的最大值为，从而a＞．
在a＞的前提下，易知函数g（x）的对称轴x= 在区间[1，2]的左边，
从而g（x）在[1，2]上是递增函数．
当a＞1时，f（x）在[1，2]上是增函数，有f（1）=＞0=log_a¹，∴a＞．
当＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是减函数，有f（2）=＞0=log_a¹，
∴4a-2+＜1，a＜．故有 ＜a＜．
综上，a＞ 或 ＜a＜．
故选：C．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想．