题目内容
近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．
【答案】分析：（1）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由间接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天数x分布列和期望．
解答：解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是
，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p1=
=
=
．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
P（x=4）=（
）3C
×
+C
•（
）3（
）2=
，…（5分）
P（x=3）=
（
）3（
）2+C
（
）3C
（
）（
）+（
）3（
）2=
，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C
（
）3（
）2+C
（
）3C
（
）×（
）+（
）3×（
）2=
，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=
，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（
）3（
）2=
，…（9分）
不需要人工降雨的天数x分布列是：…（10分）
不需要人工降雨的天数x的期望是：
=3.1．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天数x分布列和期望．
解答：解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是
，…（2分）故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p1=
==．…（4分）（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
P（x=4）=（
）3C×+C•（）3（）2=，…（5分）P（x=3）=
（）3（）2+C（）3C（）（）+（）3（）2=，…（6分）2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C
（）3（）2+C（）3C（）×（）+（）3×（）2=，…（7分）1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=
，…（8分）0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（
）3（）2=，…（9分）不需要人工降雨的天数x分布列是：…（10分）
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| P |  |  |  |  |  |  |
=3.1．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．
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