Question

已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．
（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；
（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可取M=1，验证即可；
（2）M=1时，由f（x+1）=-f（x）可得到函数f（x）的一个性质：周期性；
（3）由题意可得h（x+M）=-Mh（x）成立，既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx，可对M分|M|＞1，|M|＜1及|M|=1三种情况讨论解决．

解答：解：（1）取 M=1  对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P
（2）M=1时，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；
（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．  既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx
若|M|＞1，取sinωx=1，则 sin（ωx+ωM）=-M对x∈R恒成立时不可能的．
若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则  sinωx=-

1

M

对x∈R也不成立．∴M=±1
当 M=1时   sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，2sin(ωx+

ω

2

)•cos

ω

2

=0（x∈R），cos

ω

2

=0解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；
当M=-1时  sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，2cos(ωx-

ω

2

)•sin(-

ω

2

)=0（x∈R），sin

ω

2

=0解得：ω=2kπk∈Z
综上可得ω=kπ（k∈Z）

点评：本题考查三角函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三角函数值求角的灵活应用，属于难题．