Question

给定：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁•a₂•…•a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的“企盼数”，则区间[1，2013]内所有“企盼数”的和M=______．

Answer 1

a_n=log_n+1（n+2），
a₁•a₂•a_k=log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2），
∵a₁•a₂•…•a_k为整数，
设log₂（k+2）=m（m∈N^*且m＞1），则k+2=2^m，∴k=2^m-2（m∈N^*且m＞1）；
因为2¹¹-2=2046＞2013，
∴区间[1，2013]内所有企盼数为2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故答案为2026．