Question

己知抛物线的参数方程为

x=2pt2 y=2pt

（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=

2

．

Answer 1

分析：将抛物线化成普通方程得y²=2px，得到焦点为F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

．根据|EF|=|MF|利用抛物线的定义得到△MEF为等边三角形．设准线与x轴的交点为G，Rt△EFG中算出∠FGE=30°，从而得出|EF|=2|FG|=2p，根据|ME|=3+

p

2

=|EF|得到关于p的等式，解之可得p的值．

解答：解：∵抛物线的参数方程为

x=2pt2 y=2pt

（t为参数），其中p＞0，
∴消去参数可得抛物线的普通方程为x=2p（

y

2p

）²，化简可得y²=2px，
表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，
可得抛物线的焦点F为（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

．
∵|EF|=|MF|，
∴由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，得到△MEF为等边三角形．
设抛物线的准线与x轴的交点为G（-

p

2

，0），可得|FG|=p，
Rt△EFG中，∠FGE=90°-60°=30°，
∴|EF|=2|FG|=2p，
由此可得|ME|=3+

p

2

=2p，解之得p=2．
故答案为：2

点评：本题给出抛物线的参数方程，在满足指定条件下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的定义与标准方程、抛物线的简单性质及其应用和参数方程化为普通方程的方法，属于中档题．