Question

如果实数x，y满足等式（x-2）²+y²=1
（1）求y-x的最大值和最小值．
（2）求x²+（y-1）²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设z=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=1上，则此直线与圆相切时，z取最值，根据圆心到直线的距离等于半径，求得z的值，即为所求．
（2）根据x²+（y-1）²表示点P（x，y）与点A（0，1）间的距离的平方，求出|AC|，再把|AC|加减半径，即得所求．

解答：解：（1）设z=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=1上，
使直线z=y-x在y轴上截距最大时，z取得最大值；
使直线z=y-x在y轴上截距最小时，z取得最小值．
则当直线x-y+z=0与圆相切时，z取最值，∵圆心C（2，0），半径r=1，
故当z取得最值时，有

|2-0+z|

2

=1，解得z=±

2

-2，
故zmax=

2

-2，zmin=-

2

-2．（6分）
（2）∵x²+（y-1）²表示点P（x，y）与点A（0，1）间的距离的平方．
∵|AC|=

5

，∴

x2+(y-1)2

的最小值为

5

-1，最大值为

5

+1，（10分）
∴x²+（y-1）²的最小值为6-2

5

，最大值为6+2

5

．（12分）

点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，属于中档题．