Question

已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l₁垂直于x轴，动点P在l₁上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l₂是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l₂的距离最短时，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ?k_OP•k_OQ=-1，求出曲线方程；
（2）设出直线直线l₂的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l₂与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出b=-

k2

2

，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2

ab

，求得b的值，即可得到直线方程．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-2）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1．
当x≠0时，得

y

x

•

-2

x

=-1，化简得x²=2y．（2分）
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x²=2y（x≠0）．（4分）
（2）∵直线l₂与曲线C相切，∴直线l₂的斜率存在．
设直线l₂的方程为y=kx+b，（5分）
由

y=kx+b x2=2y

得x²-2kx-2b=0．
∵直线l₂与曲线C相切，
∴△=4k²+8b=0，即b=-

k2

2

．（6分）
点（0，2）到直线l₂的距离d=

|-2+b|

k 2   +1

=

1

2

•

k 2   +4

k 2   +1

（7分）=

1

2

(

k 2   +1

+

3

k 2   +1

)（8分）≥

1

2

×2

k 2   +1 • 3 k 2   +1

（9分）=

3

．（10分）
当且仅当

k 2   +1

=

3

k 2   +1

，即k=±

2

时，等号成立．此时b=-1．（12分）
∴直线l₂的方程为

2

x-y-1=0或

2

x+y+1=0．（14分）

点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2

ab

，求出b的值．属于中档题．