题目内容

(天津卷理20)已知函数,其中.

(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;

(Ⅱ)讨论函数的单调性;

本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分.

(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得,于是

由切点在直线上可得,解得

所以函数的解析式为

(Ⅱ)解:

时,显然).这时上内是增函数.

时,令,解得

变化时,的变化情况如下表:

0

0

极大值

极小值

所以内是增函数,在内是减函数.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,上的最大值为的较大者,对于任意的,不等式上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立.

从而得,所以满足条件的的取值范围是

(Ⅲ)若对于任意的,不等式上恒成立,求的取值范围.

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