题目内容
(天津卷理20)已知函数,其中.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得,于是.
由切点在直线上可得,解得.
所以函数的解析式为.
(Ⅱ)解:.
当时,显然().这时在,上内是增函数.
当时,令,解得.
当变化时,,的变化情况如下表:
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| + | 0 | - | - | 0 | + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在,内是增函数,在,内是减函数.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立.
从而得,所以满足条件的的取值范围是.
(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
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