题目内容

已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点.

(Ⅰ)若线段中点的横坐标是,求直线的方程;

(Ⅱ)在轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ) ,或    (Ⅱ)


解析:

(Ⅰ)解:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为

代入, 消去整理得    ………….. 2分

  则    ………….. 4分

由线段中点的横坐标是,   得,解得,适合.  ….. 5分

所以直线的方程为 ,或 .  ….. 6分

(Ⅱ)解:假设在轴上存在点,使为常数.

① 当直线轴不垂直时,由(Ⅰ)知    

所以

                                    ………….. 8分

代入,整理得

                           

注意到是与无关的常数, 从而有, 此时  .. 10分

② 当直线轴垂直时,此时点的坐标分别为

时, 亦有                                         

综上,在轴上存在定点,使为常数. ……………….. 12分

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