题目内容
已知定点及椭圆
,过点
的动直线与椭圆相交于
两点.
(Ⅰ)若线段中点的横坐标是
,求直线
的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在点
,使
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ) ,或
(Ⅱ)
解析:
(Ⅰ)解:依题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
将代入
, 消去
整理得
………….. 2分
设 则
………….. 4分
由线段中点的横坐标是
, 得
,解得
,适合
. ….. 5分
所以直线的方程为
,或
. ….. 6分
(Ⅱ)解:假设在轴上存在点
,使
为常数.
① 当直线与
轴不垂直时,由(Ⅰ)知
所以
………….. 8分
将代入,整理得
注意到是与
无关的常数, 从而有
, 此时
.. 10分
② 当直线与
轴垂直时,此时点
的坐标分别为
,
当时, 亦有
综上,在轴上存在定点
,使
为常数. ……………….. 12分

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