Question

设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．[5，+∞）
B．[，+∞）
C．[，5]
D．[，5）

Answer 1

【答案】分析：先由二项式定理可以得到展开式的通项，再求出其展开式的中间项，即可得f（x），由x的范围，可将f（x）≤mx变形为x²≤m，由二次函数的性质，求出x²在区间[，]上的最大值，结合不等式恒成立的意义，即可得答案．
解答：解：展开式的通项为T_r+1=C₆^r（x²）^6-r（）^r=（）^r•C₆^r•x^12-3r，
其展开式的中间项为T₄=（）³•C₆³•x³=x³，即f（x）=x³，
f（x）≤mx?x³≤mx，
当≤x≤时，x³≤mx?x²≤m，
且≤x≤时，x²的最大值为5，则若x²≤m恒成立，则必有m≥5，
故m的取值范围是[5，+∞），
故选A．
点评：本题考查二项式定理与函数的恒成立问题，关键由二项式定理求出f（x）并求出其最大值．