题目内容

对于函数f(x)=-2cosx,x∈[0,π]与函数g(x)=
1
2
x2+lnx
有下列命题:
①函数f(x)的图象不管怎样平移所得图象对应的函数都不会是奇函数;
②方程g(x)=0没有零点;
③函数f(x)和函数g(x)图象上存在平行的切线;
④若函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为
1
2-π

其中正确的是
③④
③④
(把所有正确命题的序号都填上)
分析:①函数向左平移
π
2
个单位所得的为奇函数;
②求导函数,可得函数g(x)在定义域内为增函数,利用零点存在定理,可得函数g(x)在(e-1,1)上有且只有一个零点;
③根据f′(x)=2sinx≤2,g′(x)=x+
1
x
≥2,可得函数f(x)和函数g(x)图象上存在平行的切线;
④要使函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线只有f'(x)=g'(x)=2,故可得结论.
解答:解:①函数向左平移
π
2
个单位所得的为奇函数,故①错;
②求导函数g′(x)=x+
1
x
≥2,所以函数g(x)在定义域内为增函数,
∵g(e-1)=
1
2e2
-1<0,g(1)=
1
2
>0,∴函数g(x)在(e-1,1)上有且只有一个零点,②错误;
③因为f′(x)=2sinx≤2,g′(x)=x+
1
x
≥2,所以函数f(x)和函数g(x)图象上存在平行的切线,③正确;
④要使函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线只有f'(x)=g'(x)=2,这时P(
π
2
,0),Q(1,
1
2
),所以直线PQ的斜率为
1
2-π
,④也正确
故答案为:③④
点评:本题以命题为载体,考查命题的真假,考查导数知识的运用,考查零点存在定理,知识综合性强.
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