题目内容

（1）讨论函数f（x）=
1(x＞0)
0(x=0)
-1(x＜0)
，在点x=0处的连续性；
（2）讨论函数f（x）=
x
x-3
在区间[0，3]上的连续性．
分析：（1）需判断
lim
x→0-
f（x）、
lim
x→0+
f（x）是否等于f（0）即可．
（2）需判断f（x）在（0，3）上的连续性及在x=0处右连续，在x=3处左连续．
解答：解：（1）∵
lim
x→0-
f（x）=-1，
lim
x→0+
f（x）=1，
lim
x→0-
f（x）≠
lim
x→0+
f（x），
∴
lim
x→0
f（x）不存在．∴f（x）在x=0处不连续．
（2）∵f（x）在x=3处无定义，
∴f（x）在x=3处不连续．
∴f（x）在区间[0，3]上不连续．
点评：本题考查函数的连续性的定义及判断，属基础知识的考查．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
11-x2
，
（1）讨论函数f（x）的性质（定义域，奇偶性，单调性（不要求证明））；
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已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g(x)=-x2+2bx+3．当a=-
13
时，若对任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），求实数b取值范围．
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（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当k是偶数时，正项数列{an}满足a1=1，f′(an)=
a
2
n+1
-3
an
．
①求数列{an}的通项公式；
②若bn=
2n
a
2
n
•
a
2
n+1
，记Sn=b1+b2+b3+…+bn，求证：Sn＜1．
（3）当k是奇数时，是否存在实数b，使得方程f(x)=
3
2
x2+x+b在区间（0，2]上恰有两个相异实根？若存在，求出b的范围；若不存在，说明理由．
（2013•沈阳二模）已知函数f（x）=
x2
2
+a3ln(x-a-a2)，a∈R且a≠0．
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（2）当a＜0时，若a2+a＜x1＜x2＜a2-a，证明：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
a2
2
-a．

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