题目内容

?x∈R，有f（x）+f（2-x）+2=0，则函数y=f（x）的图象关于（ ）
A．直线x=1对称
B．直线x=2对称
C．点（1，-1）对称
D．点（-1，1）对称
【答案】分析：设点（x，y）是函数图象上的一点，则点（x，y）关于（1，-1）的对称点为（2-x，-2-y），只要证明点（2-x，-2-y）也在函数的图象上即可得到答案．
解答：解：设点（x，y）是函数图象上的一点，则有y=f（x），
所以点（x，y）关于（1，-1）的对称点为（2-x，-2-y）．
因为?x∈R，有f（x）+f（2-x）+2=0，
所以f（x）+f（2-x）+2=0，
所以f（2-x）=-2-f（x）=-2-y，
所以点（2-x，-2-y）也在函数的图象上．
所以函数y=f（x）的图象关于点（1，-1）对称．
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数图象的对称性，即点对称与轴对称．
练习册系列答案
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下列说法：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+
1lnx
≥2；
②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax（其中a＞0且a≠1）平移得到；
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x）的周期为2；
④“若x2+x-6≥0，则x≥2”的逆否命题为真命题；
⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题的序号
②③
②③
．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）

对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：

(1)若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于A(1，0)对称．

(2)若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于x＝1对称．

(3)若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数．

(4)函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，其中正确命题的序号是________．

已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求函数g(x)的单调区间；
(3)研究函数g(x)在区间（0，1）上的零点个数。

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