题目内容
(本大题满分13分)设函数是定义域在上的单调函数,且对于任意正数有,已知.
(1)求的值;
(2)一个各项均为正数的数列满足:,其中是数列的前n项的和,求数列的通项公式;
(3)在(2)的条件下,是否存在正数,使 对一切成立?若存在,求出M的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)-1;
(2);
(3)存在正数,使所给定的不等式恒成立,的取值范围为
【解析】(1)∵,令,有,∴.
再令,有,∴,∴ …4分
(2)∵,
又∵是定义域上单调函数,∵,,
∴ ……①
当时,由,得,当时, ……②
由①-②,得,
化简,得 ,∴,
∵,∴,即,∴数列为等差数列. ,公差.
∴,故. ………… 8分
(3)∵,
令=,
而.
∴=,
∴,数列为单调递增函数,由题意恒成立,则只需=,
∴ ,存在正数,使所给定的不等式恒成立,的取值范围为 .
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