题目内容

(本大题满分13分)设函数是定义域在上的单调函数,且对于任意正数,已知.

(1)求的值;

(2)一个各项均为正数的数列满足:,其中是数列的前n项的和,求数列的通项公式;

(3)在(2)的条件下,是否存在正数,使 对一切成立?若存在,求出M的取值范围;若不存在,说明理由.

 

【答案】

(1)-1;

(2)

(3)存在正数,使所给定的不等式恒成立,的取值范围为

【解析】(1)∵,令,有,∴.

再令,有,∴,∴ …4分

(2)∵,

又∵是定义域上单调函数,∵

       ……①

时,由,得,当时,   ……②

由①-②,得

化简,得 ,∴

,∴,即,∴数列为等差数列. ,公差.

,故.  ………… 8分

(3)∵

=,

=

,数列为单调递增函数,由题意恒成立,则只需=

,存在正数,使所给定的不等式恒成立,的取值范围为 .

 

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