Question

4．已知$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，（$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）=61$，
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角
（2）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）运用向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，就是即可得到所求夹角；
（2）运用向量的平方即为模的平方，即可得到所求值．

解答 解：（1）由$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，$（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）=61$，
可得4$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{b}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=61，即有4×16-3×9-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=61，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，
由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
由于0≤θ≤π，可得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$；
（2）$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{16+9-12}$=$\sqrt{13}$；
$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{16+36+24}$=2$\sqrt{19}$．

点评 本题考查向量数量积的定义和运算性质，主要考查向量的夹角公式和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．