题目内容

设各项都是正数的数列{an}满足：对于任意的自然数n，都有log0.5a1+
log0.5a2
2
+
log0.5a3
3
+…+
log0.5an
n
=n(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=(n+2)(
9
5
)n•an，试求数列{bn}的最大项；
（Ⅲ）令c1=3，cn=3an-1（n≥2），Sn=
n
i=1
ci，是否存在自然数c，k，使得
Sk+1-c
Sk-c
＞3成立？证明你的论断．
分析：（Ⅰ） 类比于已知Sn求an，写出n+1时表达式，再两式相减，易得．
（Ⅱ）可求得bn=(n+2)(
9
10
)n，利用作差法判定单调性，求最大项
（Ⅲ） cn=
3
2n-1
，再求出Sn代入表达式，解关于c，k的不定方程，探讨解的情况．
解答：解：（1）由题意，知：log0.5a1+
log0.5a2
2
+
log0.5a3
3
+…+
log0.5an
n
=n．           ①
当n≥2时，log0.5a1+
log0.5a2
2
+
log0.5a3
3
+…+
log0.5an-1
n-1
=n-1．        ②
由①-②，知：当n≥2时，
log0.5an
n
=1，即an=(
1
2
)n．    
当n=1时，log0.5a1=1，a1=
1
2
适合上式．
所以，数列{an}的通项公式是an=(
1
2
)n(n∈N*)．         
（2）由（1）知：bn=(n+2)(
9
10
)n．
由
bn≥bn+1
bn≥bn-1
，即
(n+2)(
9
10
)n≥(n+3)(
9
10
)n+1
(n+2)(
9
10
)n≥(n+1)(
9
10
)n-1
．        
解得：7≤n≤8
因为n∈N*，所以，n=7或8
（3）由题意，知：当n≥2时，cn=3an-1=
3
2n-1
．
又c1=3适合上式，故数列{cn}的通项公式为cn=
3
2n-1
．     
所以，Sn=
3[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
=6[1-(
1
2
)n]．                     
假设存在自然数c，k，使得
Sk+1-c
Sk-c
＞3成立．即
6[1-(
1
2
)k+1]-c
6[1-(
1
2
)k]-c
＞3．
所以，
(6-c)•2k-3
(6-c)•2k-6
＞3
所以，
(6-c)•2k-3
(6-c)•2k-6
-3=
-2(6-c)•2k+15
(6-c)•2k-6
＞0
即
(6-c)•2k-
15
2
(6-c)•2k-6
＞0
所以，6＜(6-c)•2k＜
15
2

因为c，k为自然数，所以，（6-c）•2k比为整数，
所以，（6-c）•2k=7，所以，
2k=1
6-c=7
，即k=0，c=-1，不合题意
所以，不存在自然数c，k，使得
Sk+1-c
Sk-c
＞3成立．
点评：本题考查等比数列定义、通项公式、求和，数列的单调性、不定方程的解．考查分析解决问题、计算、逻辑思维，分类讨论的思想方法和能力．
练习册系列答案
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设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
Sn
}是公差为d的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为
9
2
．
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
Sn
}是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．
（2011•广州一模）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{
Sn
}是首项为1，公差为1的等差数列．
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=
1
anS2n+1
+
an+1S2n-1
，若不等式
n
i=1
bi≥
L
2n+1
+1
对任意n∈N*都成立，求实数L的取值范围．
设各项都是正数的数列{an}满足：对于任意的自然数n，都有．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足，试求数列{bn}的最大项；
（Ⅲ）令c1=3，cn=3an-1（n≥2），，是否存在自然数c，k，使得成立？证明你的论断．

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