Question

在△ABC中，设命题p：

a

sinB

=

b

sinC

=

c

sinA

，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（　　）

• A、充要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分不必要条件
• D、即不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先当p成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A=B=C判断出△ABC是等边三角形．推断出p是q的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得

a

sinB

=2R，

b

sinC

=2R，

c

sinA

=2R，三者相等，进而可推断出p是q的必要条件，最后综合可得答案．

解答：解：

a

sinB

=

b

sinC

=

c

sinA

，即

2RsinA

sinB

=

2RsinB

sinC

，sinAsinC=sin2B①；

2RsinB

sinC

=

2RsinC

sinA

，sinAsinB=sin2c②，
①-②，得（sinC-sinB）（sinA+sinB+sinC）=0，则sinC=sinA，
∴C=A．同理得C=B，
∴A=B=C，则△ABC是等边三角形．
当A=B=C时，

a

sinB

=

2RsinA

sinB

=2R，

b

sinC

=

2RsinB

sinC

=2R，

c

sinA

=

2RsinC

sinA

=2R
∴

a

sinB

=

b

sinC

=

c

sinA

成立，
∴p命题是q命题的充分必要条件．
故选A

点评：本题主要考查了正弦定理的运用，充分条件，必要条件和充分必要的条件的判定．考查了学生分析问题和推理的能力．