题目内容

已知函数 $数学公式$ （k＞0）（e为自然对数的底数）
（1）求f（x）的极值
（2）对于数列{a_n}， $数学公式$ （n∈N^*）
①证明：a_n＜a_n+12
②考察关于正整数n的方程a_n=n是否有解，并说明理由．

解：（1）由f′（x）=2kx（ $\text{[math]}$ -e）=0得，x=0或x=± $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ）单调递减，（- $\text{[math]}$ ，0）单调递增，（0， $\text{[math]}$ ）单调递减，（ $\text{[math]}$ ，+∞）单调递增，
∴f（x）_极大=f（0）=1，f（x）_极小值= $\text{[math]}$ =0，
（2）①当k=1时，f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而a_n＜a_n+1
②由a_n=n，得 $\text{[math]}$ =n²+n，
因n∈N₊，得 n²-1是整数，所以 $\text{[math]}$ 是无理数，
而n²+n为整数，所以 $\text{[math]}$ ≠n²+n
即方程a_n=n无解
分析：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=± $\text{[math]}$ ，从而可求得其单调区间，继而可求得f（x）的极值；
（2）①观察得知，当k=1时，f（x）= $\text{[math]}$ ，a_n= $\text{[math]}$ ，利用f（x）在（1，+∞）上递增，即可证得a_n＜a_n+1；
（3）由a_n=n，得 $\text{[math]}$ =n²+n，分析等号两端即可得到答案．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，着重考查利用导数研究函数的单调性，突出分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于难题．

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设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=e

的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（　　）

A．e^-1?M，e?M

B．e^-1?M，e∈M

C．e^-1∈M，e?M

D．e^-1∈M，e∈M

（2012•湛江一模）已知函数f（x）的图象是在[a，b]上连续不断的曲线，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)=2sinx(0≤x≤

)．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）判断f（x）是否为[0，

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由．

（k＞0）（e为自然对数的底数）
（1）求f（x）的极值
（2）对于数列{a_n}，

（n∈N^*）
①证明：a_n＜a_n+12
②考察关于正整数n的方程a_n=n是否有解，并说明理由．

（k＞0），求f（x）的极值．