Question

如图2-4,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=13,AB=5,O是AB上的点,以O为圆心,OB为半径作⊙O.

(1)当OB=2.5时,⊙O交AC于点D,求CD的长.

(2)当OB=2.4时,AC与⊙O的位置关系如何?试证明你的结论.

图2-4

Answer 1

思路分析:求CD的长容易想到利用圆幂定理.其中AC已知,只需求BC并证BC为切线即可.

解:(1)在Rt△ABC中,BC==12.

∵∠B=90°,OB为半径,

∴BC是⊙O切线.

又AB=5,OB=2.5,

∴OA=2.5,即A在圆上.

由切割线定理,得BC²=CD·AC.

∴CD=.

(2)当OB=2.4时,AC是⊙O的切线,如图2-5.

图2-5

证明:过O作OM⊥AC于M,则△AOM∽△ACB.

∴.

∴OM=2.4,

即点O到AC的距离等于⊙O的半径.

∴AC切⊙O于点M.