Question

九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a₉次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a_n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b_n表示前（n-1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-2+1+b_n-1，b₁=1，b_n=2b_n-1+1．
（1）求b_n的表达式；
（2）求a₉的值，并求出a_n的表达式；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

分析：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，可得数列{b_n+1}是等比数列，即可得出；
（2）利用（1）及已知可得：an=an-2+1+bn-1=an-2+2n-1，递推下去即可得出a₉．
当n是偶数时，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3
=…=a2+2n-1+2n-3+…+23=2^n-1+2^n-3+…+2³+2，
当n是奇数时，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3=…=a1+2n-1+2n-3+…+22=2^n-1+2^n-3+…+2²+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用放缩法可得：当n∈N^*时，

1

an

≤

3

2

1

2n-1

＜

3

2

×

1

3×2n-2

=

1

2n-1

，即可得出．

解答：解：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴数列{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+1=2×2n-1=2n，得bn=2n-1．
（2）由已知an=an-2+1+bn-1=an-2+2n-1，
∴a9=a7+28=a5+28+26=a3+2⁸+2⁶+2⁴=a1+28+26+24+22=341．
当n是偶数时，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3
=…=a2+2n-1+2n-3+…+23
=2^n-1+2^n-3+…+2³+2
=

2×(2n-1)

22-1

=

1

3

(2n+1-2)．
当n是奇数时，an=an-2+2n-1=an-4+2n-1+2n-3
=…=a1+2n-1+2n-3+…+22
=2^n-1+2^n-3+…+2²+1
=

2n+1-1

22-1

=

1

3

(2n+1-1)．
综上所述：an=

1 3 (2n+1-2)，当n为偶数时 1 3 (2n+1-1)，当n为奇数时

．
（3）当n为偶数时，

1

an

=

3

2

•

1

2n-1

，当n为奇数时，

1

an

=

3

2

•

1

2n- 1 2

＜

3

2

•

1

2n-1

．
∴当n∈N^*时，

1

an

≤

3

2

1

2n-1

＜

3

2

×

1

3×2n-2

=

1

2n-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2(1-

1

2n

)＜2．

点评：熟练掌握分类讨论思想方法、变形利用等比数列的通项公式、前n项和公式等是解题的关键．