题目内容
已知函数的一系列对应值如下表:x | |||||||
y | -1 | 1 | 3 | 1 | -1 | 1 | 3 |
(2)(文)当x∈[0,2π]时,求方程f(x)=2B的解.
(3)(理)若对任意的实数a,函数y=f(kx)(k>0),的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,又当时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
【答案】分析:(1)由已知中表格中提供的数据,我们可以判断出函数的最值及周期,进而A,B与最值的关系,ω与周期的关系,确定出A,B,ω的值,代入最大值点的坐标后,即可求出φ的值,进而得到函数的解析式.
(2)由(1)中所得的B值,我们可以构造出一个三角方程,根据正弦函数的性质及已知中x∈[0,2π],可求出对应的x值,得到答案.
(3)若函数y=f(kx)(k>0),的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,则函数的周期为,又由当时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,我们可以构造出一个关于m的不等式,解不等式即可得到实数m的取值范围.
解答:解:(1)依题意,,∴ω=1(2分)
又,解得(5分)
,解得(7分)
∴为所求.(8分)
(2)文:由f(x)=2B,得(10分)
∵x∈[0,2π],∴(12分)
∴或,即为所求.(14分)
(3)理:由已知条件可知,函数的周期为,
又k>0,∴k=3(10分)
令,∵,
∴
而sint在上单调递增,在上单调递减,且,
如图∴sint=s在上有两个不同的解的充要条件是,(12分)
∴方程f(x)=m恰有两个不同的解的充要条件是.(14分)
(注:单调区间写成、也行;直接数形结合得到正确结果,也可)
点评:本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法,三角方程的解法,正弦函数的图象和性质,其中(1)的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系,(2)的关键是熟练掌握正弦型函数的性质,(3)的关键是将已知,结合正弦函数的性质,转化为一个关于m的不等式.
(2)由(1)中所得的B值,我们可以构造出一个三角方程,根据正弦函数的性质及已知中x∈[0,2π],可求出对应的x值,得到答案.
(3)若函数y=f(kx)(k>0),的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,则函数的周期为,又由当时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,我们可以构造出一个关于m的不等式,解不等式即可得到实数m的取值范围.
解答:解:(1)依题意,,∴ω=1(2分)
又,解得(5分)
,解得(7分)
∴为所求.(8分)
(2)文:由f(x)=2B,得(10分)
∵x∈[0,2π],∴(12分)
∴或,即为所求.(14分)
(3)理:由已知条件可知,函数的周期为,
又k>0,∴k=3(10分)
令,∵,
∴
而sint在上单调递增,在上单调递减,且,
如图∴sint=s在上有两个不同的解的充要条件是,(12分)
∴方程f(x)=m恰有两个不同的解的充要条件是.(14分)
(注:单调区间写成、也行;直接数形结合得到正确结果,也可)
点评:本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法,三角方程的解法,正弦函数的图象和性质,其中(1)的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系,(2)的关键是熟练掌握正弦型函数的性质,(3)的关键是将已知,结合正弦函数的性质,转化为一个关于m的不等式.
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