Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（1）证明：AC⊥HD′；
（2）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，

∴EF∥AC，且EF⊥BD，

又D′H⊥EF，

D′H∩DH=H，

∴EF⊥平面DD′H，

∵HD′平面D′HD，

∴EF⊥HD′，

∵EF∥AC，

∴AC⊥HD′；

（2）

若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，

∵AE= ，AD=AB=5，

∴DE=5﹣ = ，

∵EF∥AC，

∴ ，

∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1，

∵HD′=DH=3，OD′=2 ，

∴满足HD′2=OD′2+OH2，

则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，

即OD′⊥底面ABCD，

即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．

底面五边形的面积S= = =12+= ，则五棱锥D′﹣ABCFE体积V= SOD′= × ×2 =

【解析】（1）根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EF⊥平面DD′H即可．（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．；本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点即可以解答此题．