Question

高为8的圆台内有一个半径为2 的球O₁，球心O₁在圆台的轴上，球O₁与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O₂，使得球O₂与球O₁、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O₂，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据放球的要求，加入的小球和球O₂与球O₁、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，即加入小球的球心与O₂均匀分布在与底面距离为3，以到圆台的轴的距离为|OO₂|==4的圆周上．
解答：解：由分析可知：原问题即需要考查半径为4的圆周上均匀分布着几个半径为3且不相交的圆，如图所示，设∠POO₂=∠POO₃=α，
则sinα=，∵，
∴45°＜α＜60°，
∴90°＜2α＜120°．故圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是2．
故选B．
点评：本题需要较强的空间想象能力和计算能力，把问题进行恰当的转化是解决的关键．