题目内容
如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s．（1）设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）．
分析：（1）选择在两个三角形中用余弦定理，利用cos∠PAB=cos∠PAC来建立等式解答；
（2）作PD⊥a，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解答．
（2）作PD⊥a，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解答．
解答：解：（1）依题意，有PA-PB=1.5×8=12（km）．PC-PB=1.5×20=30（km）
∴PB=（x-12）（km），
PC=30+（x-12）=（18+x）（km）．
在△PAB中，AB=20kmcos∠PAB=
=
=
同理，在△PAC中，cos∠PAC=
∵cos∠PAB=cos∠PAC，
∴
=
解之，得x=
(km)
（2）作PD⊥a，垂足为D
在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=x•
=
≈17.71(km)．
答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km
∴PB=（x-12）（km），
PC=30+（x-12）=（18+x）（km）．
在△PAB中，AB=20kmcos∠PAB=
| PA2+AB2-PB2 |
| 2PA•AB |
| x2+202-(x-12)2 |
| 2x•20 |
| 3x+32 |
| 5x |
同理，在△PAC中，cos∠PAC=
| 72-x |
| 3x |
∵cos∠PAB=cos∠PAC，
∴
| 3x+32 |
| 5x |
| 72-x |
| 3x |
解之，得x=
| 132 |
| 7 |
（2）作PD⊥a，垂足为D
在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=x•
| 3x+32 |
| 5x |
3×
| ||
| 5 |
答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km
点评：本题以实际问题为载体，考查余弦定理的运用，解答的关键是合理选择三角形，正确运用余弦定理解答．
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