Question

函数f(x)是定义在R上的单调函数且为奇函数，又有f(1)=-2.

(Ⅰ)求证：f(x)是R上的单调递减函数；

(Ⅱ)解不等式f(2^x)+f(2^x-4^x-1)＞0.

Answer 1

解：(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=2,而f(1)=-2,

∴f(x)不是R上的增函数,又f(x)是R上的单调函数,

∴f(x)是R上的单调递减函数

(Ⅱ)∵f(2^x)＞-f(2^x-4^x-1)=f(-2^x+4^x+1),

由(Ⅰ)得：2^x＜-2^x+4^x+1,∴(2^x)²-2×2^x+1＞0.∴(2^x-1)²＞0,

∴2^x≠1,x≠0,∴原不等式的解集为：(-∞,0)∪(0,+∞)  。