题目内容

(Ⅰ)若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数,b是从1,2,3三个数中任取的一个数,求点P(a,b)在椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
内的概率.
(Ⅱ)若a是从区间(0,3]任取的一个实数,b是从区间(0,3]任取的一个实数,求直线y=x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共点的概率.
(Ⅰ)点P(a,b)的全部基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),
(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)共12个,
设事件A“点P(a,b)在椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
内”的基本事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1)共5个,
点P(a,b)在椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
内的概率为P(A)=
5
12

(Ⅱ)实验的全部结果构成的区域为Ω={(a,b)|
0<a≤3
0<b≤3
}
如图正方形,
设事件B“直线y=x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共点”
y=x+1
x2
a2
+
y2
b2
=1
⇒(b2+a2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0

由△=4a4-4a2(b2+a2)(1-b2)≥0⇒a2+b2≥1
构成的区域为B={(a,b)|a2+b2≥1,(a,b)∈Ω}如图阴影部分,
区域B的面积为9-
π
4

所以直线y=x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共点的概率为
P(B)=
S区域B
S正方形
=
9-
π
4
9
=1-
π
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