Question

已知直线l过抛物线y²=4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A、B到y轴的距离分别为m、n，则m+n+2的最小值为（　　）

• A、4

  2

• B、6

  2

• C、4
• D、6

Answer 1

分析：利用抛物线的定义，求m+n+2的最小值，即求|AB|的最小值．①当AB与x轴垂直时，|AB|=2p；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+2p，即可得到其最小值．

解答：解：由抛物线y²=4x可得：焦点F（1，0）．
∵直线l过抛物线y²=4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A、B到y轴的距离分别为m、n，
∴m=|AF|-1，n=|BF|-1，
∴m+n=|AF|+|BF|-2=|AB|-2，
∴m+n+2=|AB|．
求m+n+2的最小值，即求|AB|的最小值．
①当AB与x轴垂直时，|AB|=2p=4；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入抛物线方程，
消去y得到k²x²-（4+2k²）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∴x1+x2=

4+2k2

k2

．
∴|AB|=

4

k2

+2+2p=6+

4

k2

＞6．
综上①②可知：|AB|的最小值是4．
∴m+n+2的最小值为4．
故选C．

点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦长问题、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．