Question

已知

a

=（3，1，5），

b

=（1，2，-3），若

a

•

c

=9，

b

•

c

=-4．
（1）若向量

c

垂直于空间直角坐标系的z轴，试求

c

的坐标；
（2）是否存在向量

c

，使得

c

与z轴共线？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）设

c

=（x₀，y₀，z₀），设z轴上一点为（0，0，a）（a≠0），依题意

a

•

c

=9，

b

•

c

=-4，

c

垂直于空间直角坐标系的z轴，即可求得

c

的坐标；
（2）设

c

=（x₁，y₁，z₁），设z轴上一点为（0，0，a）（a≠0），同（1）求得λ与a的关系式即可作出判断．

解答：解：（1）设

c

=（x₀，y₀，z₀），设z轴上一点为（0，0，a）（a≠0），则由题意得：

(3，1，5)•(x0，y0，z0)=9 (1，2，-3)•(x0，y0，z0)=-4 (0，0，a)•(x0，y0，z0)=0(a≠0)

，
解得

x0= 22 5 y0=- 21 5 z0=0

，即

c

=（

22

5

，-

21

5

，0）．
（2）令设

c

=（x₁，y₁，z₁），设z轴上一点为（0，0，a）（a≠0），则由题意，
知（x₁，y₁，z₁）=λ（0，0，a）=（0，0，λa）（a≠0），
所以x₁=0，y₁=0，z₁=λa，即

c

=（0，0，λa）（a≠0），
又

a

•

c

=9，

b

•

c

=-4，即

(3，1，5)•(0，0，λa)=9 (1，2，-3)•(0，0，λa)=-4

⇒

λa= 9 5 λa= 4 3

，显然矛盾．
∴不存在满足题意的向量

c

，使得

c

与z轴共线．

点评：本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，考查方程思想与运算能力，属于中档题．