Question

已知直线x=

π

8

是函数f（x）=sin（2x+?）（-π＜?＜0）图象的一条对称轴．有以下几个结论：
①f(0)=

2

2

；
②(

π

3

，0)是f（x）图象的一个对称中心；
③[

π

8

，

5

8

π]是f（x）的一个单调增区间；
④将f（x）的图象向左平移

3

8

π个单位长度，即得到函数y=sin2x的图象．
其中正确结论的序号是

 

．（将你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析：根据对称轴及∅的范围，求出∅值，得到函数f（x）=sin（2x-

3π

4

），求出f（0）=sin（-

3π

4

）=-

2

2

，故①不正确．
当 x=

π

3

 时，f（

π

3

 ）=sin（-

π

12

）≠0，故②不正确．
由  2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 [

π

8

，

5

8

π]是f（x）的一个单调增区间，故③正确．
将f（x）的图象向左平移

3

8

π个单位长度，即得到函数y=sin[2（x+

3π

8

）-

3π

4

]=sin2x，故④正确．

解答：解：由题意可得 x=

π

8

时，函数f（x）=sin（2x+?）=sin（

π

4

+∅）取得最值，故 （

π

4

+∅）=kπ+

π

2

，k∈z，
∴∅=kπ+

π

4

．再由-π＜?＜0，可得∅=-

3π

4

．∴函数f（x）=sin（2x+?）=sin（2x-

3π

4

）．
∴f（0）=sin（-

3π

4

）=-

2

2

，故①不正确．
当 x=

π

3

 时，f（

π

3

 ）=sin（-

π

12

）≠0，故②不正确．
由  2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ+

π

4

≤x≤kπ+

5π

4

，∴[

π

8

，

5

8

π]是f（x）的一个单调增区间，
故③正确．
将f（x）的图象向左平移

3

8

π个单位长度，即得到函数y=sin[2（x+

3π

8

）-

3π

4

]=sin2x，故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，y=Asin（ωx+∅）图象的变换，掌握正弦函数的图象性质，是解题的关键．