题目内容

已知:f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a
.(a∈R,a为常数)
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在[-
π
6
π
6
]
上的最大值与最小值之和为3,求a的值.
分析:(1)先利用两角和公式对函数解析式整理,进而根据正弦函数的性质求得函数的最小正周期.
(2)利用(1)中函数的解析式,利用x的范围,确定2x+
π
6
的范围,最后利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值的表达式,进而二者相加求得a.
解答:解:∵f(x)=1+cos2x+
3
sin2x+a=2sin(2x+
π
6
)+a+1

(1)最小正周期T=
2

(2)x∈[-
π
6
π
6
]?2x∈[-
π
3
π
3
]?2x+
π
6
∈[-
π
6
π
2
]

-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

先向右平移
π
12
再向下平移1
f(x)max=2+a+1
f(x)min=-1+a+1
∴2a+3=3?a=0
2a+2+1=3,a=0
点评:本题主要考查了三角函数的最值.一般是利用三角函数的值域和定义域来求得三角函数的最值.
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