Question

（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．

Answer 1

分析：（1）可以利用正三角形的图形特征，进行分割．
（2）可以直接求解，直接比较大小．
（3）分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，组合就好了．

解答：解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的

1

4

，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．


（2）依上面剪拼方法，有V_柱＞V_锥．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，
那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为

3

4

．
现在计算它们的高：h锥=

1-( 2 3 • 3 2 )2

=

6

3

，h柱=

1

2

tan30°=

3

6

．V柱-V锥=(h柱-

1

3

h锥)•

3

4

=(

3

6

-

6

9

)•

3

4

=

3-2 2

24

＞0
所以V_柱＞V_锥．

（3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．

点评：本题考查学生的空间想象能力，棱锥、棱柱的结构特征，是中档题．