题目内容

(14分)若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”.

已知(其中为自然对数的底数).

(1)求的极值;

(2) 函数是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

解析:(1) . 

时,

时,,此时函数递减;

 当时,,此时函数递增;

∴当时,取极小值,其极小值为

(2)解法一:由(1)可知函数的图象在处有公共点,

因此若存在的隔离直线,则该直线过这个公共点.

设隔离直线的斜率为,则直线方程为,即

,可得时恒成立

,得

下面证明时恒成立.令

时,

时,,此时函数递增;

时,,此时函数递减;

∴当时,取极大值,其极大值为

从而,即恒成立.

 ∴函数存在唯一的隔离直线

解法二: 由(1)可知当时, (当且当时取等号) .

若存在的隔离直线,则存在实常数,使得恒成立,

,则

,即.后面解题步骤同解法一.

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