Question

12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若?x∈R，f（x-1）≤f（x），则实数a的取值范围为[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

Answer 1

分析 当x≥0时，分类讨论化简函数的解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象．结合条件：?x∈R，f（x-1）≤f（x），可得6a²≤1，由此求得a的范围．

解答 解：当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴当0≤x≤a²时，f（x）=$\frac{1}{2}$[-x+a² -（x-2a²）-3a²]=-x；
当a²＜x≤2a²时，f（x）=-a²；
当x＞2a²时，f（x）=x-3a²．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：
当x＞0时，f（x）的最小值为-a²，当x＜0时，
f（x）的最大值为a²，
由于?x∈R，f（x-1）≤f（x），
故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，
结合（图二）可得1-3a² ≥3a²，即6a²≤1，求得-$\frac{\sqrt{6}}{6}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案为：[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，属于中档题．