Question

（1）解不等式：-2x²-x+6≥0
（2）已知不等式x²-2x+k²-1＞0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）-2x²-x+6≥0
因式分解得：-（2x-3）（x+2）≥0，
即：（2x-3）（x+2）≤0，
解得：-2≤x≤，
所以原不等式的解集是：[-2，]
（2）∵不等式x²-2x+k²-1＞0对一切实数x恒成立，
根据y=x²-2x+k²-1的图象
△＜0，即4-4（k²-1）＜0
解为或，
∴k的取值范围是或．
分析：（1）把原不等式的左边分解因式后，在不等式两边都除以-1，不等式号方向改变，然后把不等式化为2x-3与x+2异号，即可得原不等式的解集．
（2）一元二次不等式x²-2x+k²-1＞0对一切实数x都成立，y=x²-2x+k²-1的图象在x轴上方，由此能够求出k的取值范围．
点评：（1）此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，是一道基础题．
（2）本小题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．