Question

如图，已知椭圆的左顶点、右焦点分别为A、F，右准线为l，N为l上一点，且在x轴上方，AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求证：AM⊥MF；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求PQ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意及所给图形，先把点A，F具体，再把点N设出，利用条件解出t，求出k_AM•k_M若为-1，即可证明；
（2）由题意先设出圆的方程，在利用圆过A，F，N三点，写出圆的方程，由于圆与y轴交于P，Q两点，所以可以令圆的方程中x=0，写出两点坐标利用两点间的距离公式进而求解．
解答：（1）证明：由已知，A（-3，0），F（2，0），设，
则在椭圆上，得；
∴，∴，，
∴k_AM•k_MF=-1，即AM⊥MF；
（2）解：设圆方程为x²+y²+dx+ey+f=0，将A，F，N三点的坐标代入得：，
∴圆方程为，令x=0，得：y²+ey-6=0，
设P（0，y₁），Q（0，y₂），∴，∴PQ的最小值为．
点评：（1）此问重点考查了利用方程的思想，还考查了利用两条直线的斜率互为负倒数证明直线垂直；
（2）此问重点考查了利用方程的思想进行求解，还考查了利用一元二次函数求解最值及两点间的距离公式．