题目内容
课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cauchy．法国）不等式当n=2时的特例，即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等号当且仅当ad=bc时成立．请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．
【答案】分析：根据柯西不等式的内容即：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），结合文字语言表述，最后利用基本不等式进行证明即可得出正确答案．
解答：解：数学语言简洁地叙述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等号当且仅当ad=bc时成立；
中文语言简洁地叙述柯西不等式：
两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方．取等号的条件是两列数对应成比例．
二维形式的证明：（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）=a2•c2+b2•d2+a2•d2+b2 •c2
=a2•c2+2abcd+b2•d2+a2•d2 -2abcd+b2•c2
=（ac+bd）2+（ad-bc）2 2≥（ac+bd） 2，
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立．
点评：本题主要考查了二元形式的柯西不等式的内容与形式，柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视．
解答：解：数学语言简洁地叙述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等号当且仅当ad=bc时成立；
中文语言简洁地叙述柯西不等式：
两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方．取等号的条件是两列数对应成比例．
二维形式的证明：（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）=a2•c2+b2•d2+a2•d2+b2 •c2
=a2•c2+2abcd+b2•d2+a2•d2 -2abcd+b2•c2
=（ac+bd）2+（ad-bc）2 2≥（ac+bd） 2，
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立．
点评：本题主要考查了二元形式的柯西不等式的内容与形式，柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视．
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