题目内容
已知椭圆,满足,若椭圆的离心率为e,则的最小值
- A.
- B.
- C.3
- D.4
B
分析:先由a,及a2=b2+c2,求得椭圆离心率的范围,再利用换元法将函数y=转化为函数y=t+ (0<t≤),最后利用导数判断此函数的单调性,求出函数的最小值
解答:∵a,∴a2≤2b2,∴a2≤2(a2-c2),即a2≥2c2,∴0<e2≤
设t=e2,则y==t+ (0<t≤)
∵y′(t)=1-<0,
∴y=t+ (0<t≤)为(0,]上的减函数
∴y≥+=,即的最小值为
故选B
点评:本题考察了椭圆的几何性质离心率的求法,考察了特殊函数的单调性和最值的求法,注意本题的函数y=t+ (0<t≤)不适合用均值定理求最值
分析:先由a,及a2=b2+c2,求得椭圆离心率的范围,再利用换元法将函数y=转化为函数y=t+ (0<t≤),最后利用导数判断此函数的单调性,求出函数的最小值
解答:∵a,∴a2≤2b2,∴a2≤2(a2-c2),即a2≥2c2,∴0<e2≤
设t=e2,则y==t+ (0<t≤)
∵y′(t)=1-<0,
∴y=t+ (0<t≤)为(0,]上的减函数
∴y≥+=,即的最小值为
故选B
点评:本题考察了椭圆的几何性质离心率的求法,考察了特殊函数的单调性和最值的求法,注意本题的函数y=t+ (0<t≤)不适合用均值定理求最值
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