题目内容
已知数列{an},其中a1=1,a2=3,2an=an+1+an-1,(n≥2)记数列{an}的前n项和为Sn,数列{lnSn}的前n项和为Un.(Ⅰ)求Un;
(Ⅱ)设Fn(x)=
eUN |
2n(n!)2 |
n |
![]() |
i=1 |
F | 1 k |
lim |
n→∞ |
Tn(x) |
Tn+1(x) |
分析:(Ⅰ)由递推关系知数列为等差数列,有等差数列前n项和公式求得Sn,进而求对数得解.
(Ⅱ)利用数列{lnSn}的前n项和Un,求得Fn(x),再利用导数公式求得Fn1(x),进而求和Tn(x),最后求极限得解.
(Ⅱ)利用数列{lnSn}的前n项和Un,求得Fn(x),再利用导数公式求得Fn1(x),进而求和Tn(x),最后求极限得解.
解答:解:(Ⅰ)由题意,{an}是首项为1,公差为2的等差数列
前n项和Sn=
•n=n2,
lnSn=lnn2=2lnnUn=2(ln1+ln2+…+lnn)=2ln(n!)
(Ⅱ)Fn(x)=
•x2n=
•x2n=
Fn′(x)=x2n-1Tn(x)=
Fk′(x)=
x2k-1=
=
前n项和Sn=
1+1+2(n-1) |
2 |
lnSn=lnn2=2lnnUn=2(ln1+ln2+…+lnn)=2ln(n!)
(Ⅱ)Fn(x)=
eUn |
2n(n!)2 |
(n!)2 |
2n(n!)2 |
x2n |
2n |
n |
![]() |
k=1 |
n |
![]() |
k=1 |
|
lim |
n→∞ |
Tn(x) |
Tn+1(x) |
|
点评:本题主要考查等差数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运算的能力,是一道综合性较强的题目:注意:
(1)等差数列的判断方法要熟练.
(2)正确求导,求极限是关键.
(1)等差数列的判断方法要熟练.
(2)正确求导,求极限是关键.
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