Question

如图已知点P在圆柱OO₁的底面圆周上，AB为圆O的直径，
（1）求证：BP⊥A₁P；
（2）若圆柱的体积为12π，OA=2，∠AOP=120°，求异面直线A₁B与AP所成角大小．

Answer 1

分析：（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱OO₁的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，AA₁⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面PAA₁后，易进一步得到BP⊥A₁P；
（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A₁Q，结合圆柱的体积为12π，OA=2，∠AOP=120°，我们易得∠A₁BQ即为异面直线A₁B与AP所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：易知AP⊥BP，又由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP，（2分）
从而BP⊥平面PAA₁，故BP⊥A₁P；（5分）
（2）解：延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A₁Q，则BQ∥AP，得∠A₁BQ或它的补角为异面直线A₁B与AP所成的角．（7分）
由题意V=π•OA²•AA₁=4π•AA₁=12π，解得AA₁=3．（8分）
又BQ=2

3

，AQ=2，得A1Q=

13

，A₁B=5，（11分）
由余弦定理得cos∠A1BQ=

A1B2+BQ2-A1Q2

2A1B•BQ

=

2 3

5

＞0，（13分）
得异面直线A₁B与AP所成的角为arc cos

2 3

5

．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键．