题目内容

若椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为
2
2
，F1，F2分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F1，F2的距离之比为
1
3
，求直线x-
2
y+
3
=0被点P所在的曲线C2截得的弦长；
（Ⅱ） 设A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点，Q为C1上异于A1，A2的任意一点，直线A1Q交C1的右准线于点M，直线A2Q交C1的右准线于点N，求证MF2⊥NF2．
分析：（I）由题意得：
22
a2
+
12
b2
=1
c
a
=
2
2
⇒
a=
6
b=
3
c=
3
，F1，F2的坐标分别为：（-
3
，0），（
3
，0）．设点P（x，y）与F1，F2的距离之比为
1
3
，得出P所在的曲线C2是一个圆心在（-
3
3
4
，0）半径为：
3
3
4
的圆，利用圆的性质即可求出直线x-
2
y+
3
=0被点P所在的曲线C2截得的弦长．
（II）先设Q（s，t），由题意直线QA1的方程，直线QA2的方程．由于椭圆右准线方程为x=
a2
c
=2
3
，F2（
3
，0），求出直线QA1．QA2分别交椭圆的右准线于M、N点最后利用斜率公式证得kMF 2•k NF 2=-1即可．
解答：解：由题意得：
22
a2
+
12
b2
=1
c
a
=
2
2
⇒
a=
6
b=
3
c=
3
，F1，F2的坐标分别为：（-
3
，0），（
3
，0）．
（I）设点P（x，y）与F1，F2的距离之比为
1
3
，
则：
(x+
3
) 2+y 2
(x-
3
) 2+y 2 
=
1
3
⇒（x+
3
3
4
）2+y2=
27
16
，
是一个圆心在（-
3
3
4
，0）半径为：
3
3
4
的圆，
圆心到直线直线x-
2
y+
3
=0的距离为d=
3
4
3
=
1
4
，
直线x-
2
y+
3
=0被点P所在的曲线C2截得的弦长为：
2
27
16
-
1
16
=
26
2
．
（II）设Q（s，t），由题意直线QA1的方程为
y
t
+
x-
6
s+
6
=1，
直线QA2的方程为
y
t
+
x+
6
s-
6
=1，
由于椭圆右准线方程为x=
a2
c
=2
3
，F2（
3
，0），
∵直线QA1．QA2分别交椭圆的右准线于M、N点
∴M（2，
6
s+
6
t），N（2，
2
s-
6
t）
又P（s，t）在椭圆上，故有t2=3-
s2
2
 代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1
∴MF2⊥NF2．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （　　）
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(2，
3
)，且它的离心率e=
1
2
．直线l：y=kx+t与椭圆C1交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当k=
3
2
时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；
（Ⅲ）若直线l与圆C2：(x-1)2+y2=1相切，椭圆上一点P满足
OM
+
ON
=λ
OP
，求实数λ的取值范围．
椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点为M，抛物线C2在点M处的切线过椭圆C1的右焦点F．
（Ⅰ）若M(2，
2
5
5
)，求C1和C2的标准方程；
（II）求椭圆C1离心率的取值范围．
若椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为
2
2
，F1，F2分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F1，F2的距离之比为
1
3
，求直线x-
2
y+
3
=0被点P所在的曲线C2截得的弦长；
（Ⅱ） 设A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点，Q为C1上异于A1，A2的任意一点，直线A1Q交C1的右准线于点M，直线A2Q交C1的右准线于点N，求证MF2⊥NF2．

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