题目内容

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过50辆/千米时,车流速度为30千米/小时.研究表明:当50<x≤200时,车流速度v与车流密度x满足.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时.
(Ⅰ)当0<x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x•v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据
【答案】分析:(I)根据题意,函数v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数v(x)在50≤x≤200时的表达式,根据分式函数表达式的形式,用待定系数法可求得;
(II)先在区间(0,50]上,函数f(x)为增函数,得最大值为f(50)=1500,然后在区间[50,200]上用基本不等式求出函数f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的x值,两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值.
解答:解:(I)由题意:当0<x≤50时,v(x)=30;
当50≤x≤200时,由于
再由已知可知,当x=200时,v(0)=0,代入解得k=2000.
故函数v(x)的表达式为.…(6分)
(II)依题意并由(I)可得
当0≤x≤50时,f(x)=30x,当x=50时取最大值1500.
当50<x≤200时,f(x)=40x-=12000-[40(250-x)+]
≤12000-2=12000-4000≈12000-4000×2.236=3056.
取等号当且仅当,即x=250-50≈138时,f(x)取最大值.
(这里也可利用求导来求最大值)
综上,当车流密度为138 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3056辆/小时.…(14分)
点评:本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力,属于中等题.
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