题目内容

设全集U={1，2}，集合A={x|x²+px+q=0}，C_UA={1}，
（1）求p、q；
（2）试求函数y=px²+qx+15在[ $数学公式$ ，2]上的反函数．

解：（1）∵U={1，2}，而C_UA={1}，
∴A={2}，即方程x²+px+q=0的两根均为2，
由一元二次方程根与系数的关系知： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
（2）∵y=-4x²+4x+15=-4（x- $\text{[math]}$ ）²+16，
而 $\text{[math]}$ ≤x≤2，∴7≤y≤16，
∴4（x- $\text{[math]}$ ）²=16-y，
∴x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
故原函数的反函数是y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （7≤x≤16）．
分析：（1）根据集合U和集合C_UA，得出集合A={2}，说明方程x²+px+q=0有两个相等的实数根且均为2，可以用一元二次方程根与系数的关系求出的p、q值；
（2）在（1）的条件下得函数y=px²+qx+15就是y=-4x²+4x+15，将其看成关于x的方程解出x=φ（y）的表达式，再根据x的取值范围进行取舍得出x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，最后将x、y进行互换，可得函数y=px²+qx+15在[ $\text{[math]}$ ，2]上的反函数．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、以及集合关系中的参数取值等问题．同时还考查了反函数的求法，在求反函数的同时请注意还要注明反函数自变量的取值
范围．