Question

设a，b，c（a≠0）为实数，且方程组

ax2+bx+c=y ay2+by+c=x

恰有唯一一组实数解，用反证法证明：（b-1）²=4ac．

Answer 1

分析：利用反证法的证明方法，通过假设（b-1）²＞4ac，说明方程有实数解，不是一组，推出矛盾；（b-1）²＜4ac时，方程组无实数解，得到矛盾，说明原等式成立．

解答：证明：若（b-1）²＞4ac，则方程at²+（b-1）t+c=0有两个不同实数根，
设为α，β．则（x，y）=（α，α）与（x，y）=（β，β）都为原方程的实数解．
与恰有唯一一组实数解矛盾．若（b-1）²＜4ac，此时只需证明原方程组无实数解，
不妨设a＞0，故对于任意实数x，y都有ax²+bx+c＞x，ay²+by+c＞y，从而ax²+bx+c+ay²+by+c＞x+y，
故不存在实数对（x，y）使原方程组成立．
综上，（b-1）²=4ac．

点评：本题考查反证法证明等式的证明方法，考查分析问题解决问题的能力．