题目内容

已知向
a
=(sin(x+
π
6
)，
3
cos(x+
π
6
))，
b
=(sin(x+
π
6
)，sin(x+
π
6
))，记f(x)=
a
•
b
，在锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（C）=1
（1）求C的大小；
（2）若c=
7
，三角形ABC的面积为
3
3
2
，求a+b的值．
分析：（1）直接利用向量的数量积，求出f（x）的表达式，结合二倍角公式，两角和的正弦函数，把f（x）化简为一个角的一个三角函数的形式，利用f（C）=1以及C的范围，即可求C的大小；
（2）通过c=
7
，三角形ABC的面积为
3
3
2
，求出ab的值，利用余弦定理求出a2+b2-ab=7，利用平方法直接求a+b的值．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
=sin2(x+
π
6
)+
3
sin(x+
π
6
)cos(x+
π
6
)
=
1-cos(2x+
π
3
)
2
+
3
2
sin(2x+
π
3
)
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
，
f(C)=sin(2C+
π
6
)+
1
2
=1，
sin(2C+
π
6
)=
1
2
，
∵0＜C＜π
∴2C+
π
6
=
5π
6

∴C=
π
3

（2）∵S△ABC=
1
2
absinC=
3
3
2
，
∴ab=6，
又∵a2+b2-2abcosC=c2，
得a2+b2-ab=7，
故a+b=
a2+2ab+b2
=
a2-ab+b2+3ab
=
7+18
=5．
所以a+b=5．
点评：本题是中档题，考查向量数量积的应用，二倍角公式与两角和的正弦函数，三角形的面积余弦定理的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．
练习册系列答案
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已知向
a
=（2，-2），
b
=（cosθ，sinθ），
a
∥
b
，则θ的大小为（　　）
A、
π
4
B、-
π
4
C、θ=
π
4
+kπ（k∈Z）
D、θ=
3π
4
+kπ（k∈Z）
已知f(x)=sin(x+
π
2
)，g(x)=cos(x-
π
2
)，则下列结论中正确的是（　　）
A、函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
B、函数y=f（x）•g（x）的对称中心是(
kπ
2
+
π
4
，0)，k∈Z
C、当x∈[-
π
2
，
π
2
]时，函数y=f（x）•g（x）单调递增
D、将f（x）的图象向右平移
π
2
单位后得g（x）的图象
已知f(x)=sin(ωx+
5π
6
)的最小正周期为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=sinωx的图象（　　）
（2013•保定一模）已知向量
a
=（sin（
ω
2
x），
1
2
），
b
=（cos（
ω
2
x），
1
2
），（ω＞0，x≥0），函数f（x）=
a
•
b
的第n（n∈N*）个零点记作xn（从左向右依次计数），则所有xn组成数列{xn}．
（1）若ω=
1
2
，求x2；
（2）若函数f （x）的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100．

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