Question

以下四个命题：
①工厂制造的某机械零件尺寸ξ～N（4，

1

9

），在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5）这个尺寸范围的零件大约有3个．
②抛掷n次硬币，记不连续出现两次正面向上的概率为P_n，则

lim

n→∞

P_n=0
③若直线ax+by-3a=0与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1有且只有一个公共点，则这样的直线有2条．
④已知函数f（x）=x+

1

x

+a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在x₁，x₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x₁）-g（x₂）|≤9，则a的取值范围是（1，4]．
其中正确的命题是

①②④

（写出所有正确的命题序号）

Answer 1

分析：①根据3σ原则知不属于（μ-3σ，μ+3σ）的事件为小概率事件，其概率为0.3%；
②根据统计的意义，抛掷硬币次数足够多时，不连续出现两次正面向上几乎不可能发生；
③直线ax+by-3a=0恒过定点（3，0），与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1有且只有一个公共点，这样的直线有3条；
④确定f（x）的最小值，g（x）在[

1

a

，a]（a＞1上的最大值，从而可得|a²+2-（2a+1）|≤9，由此可得a的取值范围．

解答：解：①ξ～N（4，

1

9

），则μ=4，σ=

1

3

，取1000个零件时，不属于区间（3，5），由3σ原则知不属于（μ-3σ，μ+3σ）的事件为小概率事件，其概率为0.3%，所以1000个零件中有3个不在范围内，故①正确；
②根据统计的意义，抛掷硬币次数足够多时，不连续出现两次正面向上几乎不可能发生，所以

lim

n→∞

P_n=0，故②正确；
③直线ax+by-3a=0恒过定点（3，0），与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1有且只有一个公共点，这样的直线有3条，两条与渐近线平行，一条与双曲线相切，故③不正确；
④当且仅当x=1时，f（x）的最小值为2+a²，g（x）在[

1

a

，a]（a＞1上的最大值为a³-a³+2a+1=2a+1，故|a²+2-（2a+1）|≤9，所以|a²-2a+1|≤9，所以a²-2a+10≥0且a²-2a-8≤0，即（a-4）（a+2）≤0，所以-2≤a≤4，因为a＞1，所以a的取值范围是（1，4]，故④正确；
综上可知，正确的命题是①②④
故答案为：①②④

点评：本题考查命题真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识点多，综合性强．