Question

已知抛物线C₁：x²=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C₂交C₁于A，B，交C₁的准线于C，D，若四边形ABCD是矩形，则圆C₂的方程为（　　）

• A、x2+(y-

  1

  2

  )2=3
• B、x2+(y-

  1

  2

  )2=4
• C、x²+（y-1）²=12
• D、x²+（y-1）²=16

Answer 1

分析：依题意知，圆C₂的圆心坐标为F（0，

1

2

），且点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点，利用点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等可求得直线AB的方程为：y=

3

2

，
从而可求得A点坐标，从而可求得圆C₂的半径，于是可得答案．

解答：解：依题意，抛物线C₁：x²=2y的焦点为F（0，

1

2

），
∴圆C₂的圆心坐标为F（0，

1

2

），
作图如下：

∵四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F（0，

1

2

）为圆C₂的圆心，
∴点F为该矩形的两条对角线的交点，
∴点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等，又点F到直线CD的距离d=1，
∴直线AB的方程为：y=

3

2

，
∴A（

3

，

3

2

），
∴圆C₂的半径r=|AF|=

( 3 -0)2+( 3 2 - 1 2 )2

=2，
∴圆C₂的方程为：x²+(y-

1

2

)2=4，
故选：B．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于难题．