题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 过点 $数学公式$ 且它的离心率为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知动直线l过点Q（4，0），交轨迹C₂于R、S两点．是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

解：（1）因为椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）过点 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，b²=2，
又因为椭圆C₁的离心率 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，解得a²=3．
所以椭圆C₁的方程是 $\text{[math]}$ ；
（2）因为线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，
所以|MP|=|MF₂|，即动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，
所以动点M的轨迹C₂是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C₂的方程为y²=4x；
（3）设R（x₁，y₁），假设存在直线m：x=t满足题意，则圆心 $\text{[math]}$ ，
过O₁作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O₁的一个交点为G．
可得： $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
当t=3时，|EG|²=3，此时直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值 $\text{[math]}$ ．
因此存在直线m：x=3满足题意．
分析：（1）根据椭圆所过点A可求得b值，再由离心率及a²=b²+c²即可求得a值，
（2）由题意可知|MP|=|MF₂|，即动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，从而可判断动点M的轨迹为抛物线，进而可求得其方程；
（3）设R（x₁，y₁），假设存在直线m：x=t满足题意，可表示出圆O₁的方程，过O₁作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O₁的一个交点为G．利用勾股定理可用t，x₁表示出|EG|²，根据表达式可求得t值满足条件．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生对问题的探究能力解决问题的能力，（2）问的解决基础是掌握抛物线的定义，（3）问探究问题的处理方法往往是先假设存在，然后由条件进行推导，如满足条件即存在，否则不然．